Рис. 1

Дано розрахункову схему двохопорної балки (рис. 1) та прикладене до неї зовнішнє навантаження.

Потрібно:
1) Визначити опорні реакції.
2) Побудувати епюри внутрішніх зусиль: епюру поздовжніх сил (рис. 2, в), поперечних сил (рис. 2, г) та згинальних моментів (рис. 2, д).

Розв'язок

1) Визначення опорних реакцій.

Спроектуємо сили та на осі та (рис. 2, а, б).
Їх проекції рівні:
кН;
кН;
кН;
кН.

Додатній знак проекції вказує, що її напрямок співпадає з додатнім напрямком відповідної осі, мінус - проекція направлена у від'ємний бік осі.

На розрахунковій схемі балки (яка зображена на рис. 2,а) відкидаємо опорні шарніри і замінюємо їх реакціями у вязях (рис. 2, б). Позначаємо опори точками та , а відповідні реакції і . Напрямок реакцій обираємо довільно, якщо з рівнянь рівноваги отримаємо реакцію з від'ємним знаком, то її початковий напрямок потрібно змінити на протилежний. Використовуючи рівняння статичної рівноваги (сума проекцій всіх сил на осі і дорівнює нулю та сума моментів всіх сил відносно будь-якої точки дорівнює нулю), визначаємо опорні реакції:

Сума проекцій на вісь :
;
;
кН.

Сума моментів всіх сил відносно точки :

;
;
кН.

Сума моментів всіх сил відносно точки :

;
;
кН.

Перевірка (сума проекцій всіх сил на вісь ):
.

Знайдені реакції позначаємо на рис. 2,б.

Рис. 2

2) Побудова епюр зусиль.

Для знаходження внутрішніх зусиль в характерних точках балки (початок та кінець балки, точки прикладення зосереджених сил та моментів, початок та кінець рівномірно розподіленого навантаження) будемо використовувати наступне правило знаків для побудови епюр внутрішніх зусиль. Зусилля визначаються не в точці, а нескінченно близько до неї (для балки - це лівий та правий переріз від характерної точки).

Визначення зусиль в точці "0"

• Правий переріз (рис. 3).

Рис. 3

Як видно з рис. 3, праворуч від точки "0" балка поділена на дві частини (ліву, яка зображена на рис. 3 та праву, яку ми відкинули). Цей переріз знаходиться нескінченно близько до точки "0", тобто можна прийняти, що відстань між перерізом і точкою дорівнює нулю. Для плоскої задачі в поперечному перерізі будуть діяти три зусилля ( - поздовжня сила, - поперечна сила та - згинальний момент). Всі зусилля направляємо так, щоб вони мали додатній напрямок (згідно з правилом знаків).

Для визначення зусилля , спроектуємо всі сили на вісь :
;
кН.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, в.

Визначаємо зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, г.

Зусилля , беремо суму моментів всіх сил відносно перерізу (момент, який обертається навколо перерізу проти годинникової стрілки, беремо зі знаком плюс, а за годинниковою стрілкою - зі знаком мінус):
;
.
Момент відносно точки, від сили, яка проходить через цю точку, дорівнює нулю.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, д.

В перерізі де прикладена зосереджена поздовжня сила, на епюрі буде стрибок на величину цієї сили. Тому в таких перерізах значення поздовжньої сили знаходять ліворуч та праворуч від точки.

В перерізі де прикладена зосереджена поперечна сила, на епюрі буде стрибок на величину цієї сили. Тому в таких перерізах значення поперечної сили знаходять ліворуч та праворуч від точки.

Визначення зусиль в точці "1"

• Лівий переріз (рис. 4).

Рис. 4

Зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, в.

Зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, г.

Зусилля , сума моментів всіх сил відносно перерізу:
;
кН·м.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, д.

• Правий переріз (рис. 5).

Рис. 5

Зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, в.

Зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, г.

Зусилля , сума моментів всіх сил відносно перерізу:
;
кН·м.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, д.
Як бачимо в лівому та правому перерізі згинальні моменти рівні. Тобто в точках де прикладена зосереджена сила та починається (або закінчується) рівномірно розподілене навантаження, згинальний момент не змінюється. В таких точках згинальний момент будемо знаходити тільки в одному з перерізів (ліворуч або праворуч від точки).

Визначення зусиль в точці "2"

• Лівий переріз (рис. 6).

Рис. 6

Зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.

Зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.

Зусилля , сума моментів всіх сил відносно перерізу:
;
кН·м.
Відкладаємо значення зусилля на рис. 2, д.

• Правий переріз (рис. 7).

Рис. 7

Зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.

Зусилля , проектуємо всі сили на вісь :
;
кН.

Зусилля , сума моментів всіх сил відносно перерізу:
кН·м.

В точці "2" зусилля з лівої та правої сторони однакові. Точка "2" не характерна точка, вона потрібна тільки для знаходження згинального моменту (під рівномірно розподіленим навантаженням епюра моментів змінюється параболою) на цій ділянці знаходимо мінімум три значення на епюрі моментів: на початку ділянки (т. "1"), посередині (т. "2") та в кінці (т. "3"). В точці "4" згинальний момент будемо знаходити тільки в одному з перерізів (ліворуч або праворуч від точки).

Зусилля не буде змінюватись до точки "6", тобто в точках "3", "4" та "5" його знаходити не будемо.

Зусилля , на ділянці під рівномірно розподіленим навантаженням, буде змінюватись прямолінійно (косою лінією). Так як на ділянці від точки "1" до "5" немає зосереджених сил, то для побудови епюри поперечних сил на цій ділянці достатньо знайти її значення на початку (т. "1", що ми вже зробили) та в кінці ділянки (т. "5").