Статті

Для студента

Онлайн розрахунки

Реклама

Головна > Згин > Приклад 3. Розрахунок прокатної балки 045

Приклад 3. Розрахунок прокатної балки 045

прокатна балка

Рис. 1

Дано: схема балки з навантаженням (рис. 1), допустимі напруження sigma_adm = 160 МПа, tau_adm = 100 МПа.

Потрібно: визначити опорні реакції, побудувати епюри внутрішніх зусиль, підібрати переріз балки з двотавра та перевірити міцність прийнятого перерізу, побудувати епюри переміщень, методом Мора і графоаналітичним методом в довільному перерізі балки визначити кут повороту та прогин.

 План виконання задачі:
1) Визначення опорних реакцій та побудова епюр внутрішніх зусиль.
2) Підбір поперечного перерізу.
3) Повна перевірка міцності балки.
4) Визначення переміщень методом початкових параметрів.
5) Визначення переміщень графоаналітичним методом.
6) Визначення переміщень методом Мора.

 

1) Визначаємо опорні реакції та будуємо епюри внутрішніх зусиль.

sum{~}{~}{M_A} = 0,~~ -~R_B*9 ~-~ 16 + 10*4 + 4*4*5 = 0,~~ R_B = 11,56 кН;

sum{~}{~}{M_B} = 0,~~ -~R_A*9 ~-~ 16 + 10*13 ~-~ 4*4*4 = 0,~~ R_A = 5,56 кН.

Перевірка: sum{~}{~}{F_z} = 0,~~ ~-~ 10 + 5,56 + 4*4 ~-~ 11,56 = 0.

Побудова епюр внутрішніх зусиль (рис. 2):

Побудова епюри Q_z (кН):
Q_1Л~= 0;
Q_1Пр~= 10;
Q_2Л~= 10;
Q_2Пр~= 10 ~-~ 5,56 = 4,44;
Q_3~= 10 ~-~ 5,56 = 4,44;
Q_5~= ~-~ 11,56;
Q_6Л~= ~-~ 11,56;		 Побудова епюри M_y (кН·м):
M_0Пр~= ~-~ 16;
M_1~= ~-~ 16;
M_2~= ~-~16 + 10*4 = 24;
M_3~= 11,56*6 ~-~ 4*4*2 = 37,33;
M_4~= 11,56*4 ~-~ 4*2*1 = 38,22;
M_5~= 11,56*2 = 23,12;
M_6~= 0;
M_ext~= 11,56*4,89 ~-~ 4*2,89*{{2,89}/{2}} = 39,8;

 

Максимальні значення зусиль:

Q_max = 11,56 кН (при x = 15 м);

M_max = 39,8 кН·м (при x = 12,11 м).

епюри внутрішніх зусиль та переміщень при згині

Рис. 2

2) Підбір поперечного перерізу.

Потрібний момент опору:

Wпот~= {M_max}/{sigma_adm} = {39,8*10^3}/{160*10^6} = 248,75*10^{-6} м 3~= 248,75 см 3.

З таблиці сортаменту (ГОСТ 8239-72) приймаємо двотавр №22a, з такими геометричними характеристиками:

I_y = 2790 см 4;   W_y = 254 см 3;   S_max = 143 см 3.

Розміри перерізу:

h = 220 мм;   b = 120 мм;   d = 5,4 мм;   t = 8,9 мм.

3) Виконуємо повну перевірку міцності балки.

а) По максимальним нормальним напруженням (переріз a~-~a при x = 12,11 м).

sigma_max = {M_max}/{W_y} = {39,8*10^3}/{254*10^{-6}} = 156,7*10^{6} Па~= 156,7 МПа.

Недонапруження: Delta = {{160 ~-~ 156,7}/160} * 100% = 2,06%.

Для перерізу a~-~a будуємо епюру нормальних напружень (рис. 3).

б) По максимальним дотичним напруженням (переріз b~-~b при x = 15 м).

tau_max = {Q_max S_max}/{d I_y} = {11,56*10^3 * 143*10^{-6}}/{5,4*10^{-3}*2790*10^{-8}} = 10,97*10^6 Па~= 10,97 МПа.

Недонапруження: Delta = {{100 ~-~ 10,97}/100} * 100% = 89,03%.

Обчислюємо статичний момент полки двотавра відносно центральної осі y:

S_n = b t {h ~-~ t}/2 = 120 * 8,9 * {{220 ~-~ 8,9}/2} * 10^{-3} = 112,73 см 3,

дотичне напруження в точці стику полиці і стінки:

tau_n = {Q_max S_n}/{d I_y} = {11,56*10^3 * 112,73*10^{-6}}/{5,4*10^{-3}*2790*10^{-8}} = 8,65*10^6 Па~= 8,65 МПа.

Будуємо епюру дотичних напружень в перерізі b~-~b (рис. 3).

в) Головні напруження перевіряємо в (переріз c~-~c при x = 13 м).

Зусилля в перерізі: M = 38,22 кН·м,  Q = 3,56 кН.

Визначаємо нормальне та дотичне напруження в точці стику полки та стінки двотавра:

sigma_1 = {{M}/{I_y}} (h/2 ~-~ t) = {{38,22*10^3}/{2790*10^{-8}}}*(220/2 ~-~ 8,9) * 10^{-3} = 138,5*10^6 Па~= 138,5 МПа;

tau_1 = {Q S_n}/{d I_y} = {3,56*10^3 * 112,73*10^{-6}}/{5,4*10^{-3}*2790*10^{-8}} = 2,66*10^6 Па~= 2,66 МПа.

За четвертою теорією міцності:

sigma_red = sqrt{{sigma_1}^2 + 3 {tau_1}^2} = sqrt{{138,5}^2 + 3 * {2,66}^2} = 138,58 МПа.

Недонапруження: Delta = {{160 ~-~ 138,58}/160} * 100% = 13,39%.

Визначаємо дотичне напруження на нейтральній осі:

tau_0 = {Q S_max}/{d I_y} = {3,56*10^3 * 143*10^{-6}}/{5,4*10^{-3}*2790*10^{-8}} = 3,37*10^6 Па~= 3,37 МПа.

та будуємо епюри sigma і tau у перерізі c~-~c (рис. 3).

епюри нормальних та дотичних напружень при згині

Рис. 3

Сподобалася стаття! Підтримай проект! Став ЛАЙК!