Геометрические характеристики плоского поперечного сечения 4 элемента (полоса, двутавр, швеллер уголок) 020

|< < 1 2

Показано с 2 по 2 из 2 (всего 2 страниц)

4) Определяем положение главных центральных осей инерции:

$tg2{alpha_0}={2I_{{y_c}{z_c}}}/{I_z_c~-~I_y_c}={2*(~-~6474,4)}/{22782,4 ~-~ 13053,8} = ~-~1,33101 .$

Отсюда $2{alpha_0}= ~-~ 53,08^circ ;~~~~~alpha_0= ~-~ 26.54^circ .$

На рисунке откладываем положительный угол против часовой стрелки и чертим главные центральные оси инерции (рис. 3).

5) Для определения величин главных центральных моментов инерции используем три вида формул.

а)

$I_U={I_y_c}cos^2{alpha_0}+{I_z_c}sin^2{alpha_0}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=13053,8 cos^2{(~-~ 26.54^circ)}+22782,4 sin^2{(~-~ 26.54^circ)} ~-~$ $~~~~~~~~~~~~~~ ~-~ (~-~6474,4) sin{2*(~-~ 26.54^circ)} = 9819,9$ см ⁴,

$I_V={I_y_c}sin^2{alpha_0}+{I_z_c}cos^2{alpha_0}+{I_{{y_c}{z_c}}}sin{2{alpha_0}}=13053,8 sin^2{(~-~ 26.54^circ)}+22782,4 cos^2{(~-~ 26.54^circ)} +$ $~~~~~~~~~~~~~~ + (~-~6474,4) sin{2*(~-~ 26.54^circ)} = 26016,2$ см ⁴,

Для проверки правильности нахождения главных моментов инерции, определяем центробежный момент инерции относительно главных осей:

$I_UV = I_{{y_c}{z_c}} cos{2alpha_0} + 1/2 ( I_y_c ~-~ I_z_c ) sin{2alpha_0} = (~-~6474,4) cos{2*(~-~ 26.54^circ)} +$ $~+1/2 (13053,8 ~-~ 22782,4) sin{2*(~-~ 26.54^circ)} = 9106,9799 ~-~ 9107,2613 = ~-~0,2814$ ,

погрешность: varepsilon={{0,2814}/{9107,2613}}*100%=0,0031%<0,5% ;

б)

$I_U={I_y_c}~-~{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}= 13053,8 ~-~ (~-~6474,4) tg{(~-~ 26.54^circ)} = 9819,9$ см ⁴,

$I_V={I_z_c}+{I_{{y_c}{z_c}}}tg{alpha_0}= 22782,4 + (~-~6474,4) tg{(~-~ 26.54^circ)} = 26016,2$ см ⁴,

в)

$I_{matrix{2}{1}{max min}}={{I_y_c}+{I_z_c}}/2 pm sqrt{{{({{I_y_c}~-~{I_z_c}}/2)}^2}+{I_{{y_c}{z_c}}}^2}={13053,8 + 22782,4}/2 pm$ $~ pm sqrt{{{({13053,8 ~-~ 22782,4}/2)}^2} + {(~-~6474,4)}^2}= 17918,05 pm 8098,15$ .

Поскольку ${I_y_c}<{I_z_c}$ , то ${I_U}<{I_V} :$

${I_U}={I_min}= 17918,05 ~-~ 8098,15 = 9819,9$ см ⁴,

${I_V}={I_max}=17918,05 + 8098,15 = 26016,2$ см ⁴.

Проверяем условие инвариантности осевых моментов инерции:

${I_U}+{I_V}={I_y_c}+{I_z_c} ,$

${I_U}+{I_V}= 9819,9 + 26016,2 = 35836,1$ см ⁴,

${I_y_c}+{I_z_c}=13053,8 + 22782,4 = 35836,1$ см ⁴.

6) Вычисляем главные радиусы инерции:

$i_U=sqrt{{I_U}/{A}}=sqrt{{9819,9}/{154,92}} = 7,96$ см,

$i_V=sqrt{{I_V}/{A}}=sqrt{{26016,2}/{154,92}} = 12,96$ см,

и строим эллипс инерции (рис. 3). Определяем графически радиусы инерции относительно осей y_c ,~z_c :

i_y_c= 9,18 см, ~~~~~i_z_c= 12,13 см.

Вычисляем моменты инерции относительно этих осей:

$I_y_c={i_y_c}^2 A= {9,18}^2 * 154,92 = 13055,5$ см ⁴,

$I_z_c={i_z_c}^2 A= {12,13}^2 * 154,92 = 22794,5$ см ⁴,

и сравниваем с ранее вычисленными значениями:

I_y_c= 13053,8 см ⁴, ~~~~~I_z_c= 22782,4 , см ⁴.

7) Определяем главные моменты сопротивления и

Наиболее удаленной точкой от оси является точка A(~-~19,11;~-~12,77) , а от оси - точка B(18,49;~-~22,77) . Измеряя на рисунке расстояния до этих точек от соответствующих главных осей, находим: U_max = 26,72 см, V_max = 19,96 см.