Пример 1. Расчет прокатной балки 022

|< < 1 2

Показано с 2 по 2 из 2 (всего 2 страниц)

4) Вычисляем перемещения оси балки методом начальных параметров.

Начальные параметры: w_0 = ?, ~~~ phi_0 = ?, ~~~ M_0 = 0, ~~~ Q_0 = 8 кН.

Предельные и дополнительные условия:

при x = 2 м right ~~w = 0 ;

при x = 6 м right ~~w = 0 .

Используя формулы для вычисления прогиба оси балки методом начальных параметров, запишем:

$EI_y w(2) = EI_y w_0 + EI_y phi_0 * 2 ~-~ 8 * {{2^3}/{6}} = 0$ ;

$EI_y w(6) = EI_y w_0 + EI_y phi_0 * 6 ~-~ 8 * {{6^3}/{6}} + 16 * {{(6 ~-~ 2)^3}/{6}} = 0$ .

или

EI_y w_0 + EI_y phi_0 * 2 = 10,67 ;

EI_y w_0 + EI_y phi_0 * 6 = 117,33 .

Решая систему уравнений, находим:

EI_y w_0 = ~-~ 42,67 кН·м ³; EI_y phi_0 = 26,67 кН·м ² рад.

Делим балку на участки и определяем значение угла поворота и прогиба в характерных точках (на границах участков и посередине каждого участка,
рис. 2).

Составляем выражения для угла поворота и прогиба для каждого участка и вычисляем значение EI_y phi и EI_y w .

Первый участок ( 0<=x<=2 м)

$EI_y phi(x) = 26,67 ~-~ 8 * {{x^2}/2}$ ;

$EI_y w(x) = ~-~42,67 + 26,67*x ~-~ 8 * {{x^3}/6}$ .

x = 0

$EI_y phi(0) = 26,67 ~-~ 8 * {{0^2}/2} = 26,67$ кН·м ² рад;

$EI_y w(0) = ~-~42,67 + 26,67*0 ~-~ 8 * {{0^3}/6} = ~-~ 42,67$ кН·м ³.

x = 1 м

$EI_y phi(1) = 26,67 ~-~ 8 * {{1^2}/2} = 22,67$ кН·м ² рад;

$EI_y w(1) = ~-~42,67 + 26,67*1 ~-~ 8 * {{1^3}/6} = ~-~ 17,33$ кН·м ³.

x = 2 м

$EI_y phi(2) = 26,67 ~-~ 8 * {{2^2}/2} = 10,67$ кН·м ² рад;

$EI_y w(2) = ~-~42,67 + 26,67*2 ~-~ 8 * {{2^3}/6} = 0$ кН·м ³.

Второй участок ( 2<x<=6 м)

$EI_y phi(x) = 26,67 ~-~ 8 * {{x^2}/2} + 16 * {{(x ~-~ 2)^2}/2}$ ;

$EI_y w(x) = ~-~42,67 + 26,67*x ~-~ 8 * {{x^3}/6} + 16 * {{(x ~-~ 2)^3}/6}$ .

x = 4 м

$EI_y phi(4) = 26,67 ~-~ 8 * {{4^2}/2} + 16 * {{(4 ~-~ 2)^2}/2} = ~-~5,33$ кН·м ² рад;

$EI_y w(4) = ~-~42,67 + 26,67*4 ~-~ 8 * {{4^3}/6} + 16 * {{(4 ~-~ 2)^3}/6} = 0$ кН·м ³.

x = 6 м

$EI_y phi(6) = 26,67 ~-~ 8 * {{6^2}/2} + 16 * {{(6 ~-~ 2)^2}/2} = 10,67$ кН·м ² рад;

$EI_y w(6) = ~-~42,67 + 26,67*6 ~-~ 8 * {{6^3}/6} + 16 * {{(6 ~-~ 2)^3}/6} = 0$ кН·м ³.

Третий участок ( 6<x<=8 м)

$EI_y phi(x) = 26,67 ~-~ 8 * {{x^2}/2} + 16 * {{(x ~-~ 2)^2}/2} ~-~ 16 * {{(x ~-~ 6)^2}/2}$ ;

$EI_y w(x) = ~-~42,67 + 26,67*x ~-~ 8 * {{x^3}/6} + 16 * {{(x ~-~ 2)^3}/6} ~-~ 16 * {{(x ~-~ 6)^3}/6}$ .

x = 7 м

$EI_y phi(7) = 26,67 ~-~ 8 * {{7^2}/2} + 16 * {{(7 ~-~ 2)^2}/2} ~-~ 16 * {{(7 ~-~ 6)^2}/2} = 22,67$ кН·м ² рад;

$EI_y w(7) = ~-~42,67 + 26,67*7 ~-~ 8 * {{7^3}/6} + 16 * {{(7 ~-~ 2)^3}/6} ~-~ 16 * {{(7 ~-~ 6)^3}/6} = 17,33$ кН·м ³.

x = 8 м

$EI_y phi(8) = 26,67 ~-~ 8 * {{8^2}/2} + 16 * {{(8 ~-~ 2)^2}/2} ~-~ 16 * {{(8 ~-~ 6)^2}/2} = 26,67$ кН·м ² рад;

$EI_y w(8) = ~-~42,67 + 26,67*8 ~-~ 8 * {{8^3}/6} + 16 * {{(8 ~-~ 2)^3}/6} ~-~ 16 * {{(8 ~-~ 6)^3}/6} = 42,67$ кН·м ³.

За найденными ординатами строим эпюры EI_y phi и EI_y w (рис. 2).

5) Графоаналитический метод.

Графоаналитическим способом определяем угол поворота и прогиб сечения при x = 8 м. Чертим фиктивную балку (рис. 4), загружаем распределенной фиктивной нагрузкой (эпюрой изгибающих моментов), которое заменяется фиктивными равнодействующими:

${P_1}$ ^ф ~ = {1/2} * 2 * 16 = 16 кН·м ²; ${P_2}$ ^ф ~ = {1/2} * 4 * 16 = 32 кН·м ²;