Статьи

Для студента

Онлайн расчеты

Реклама

Главная » Изгиб » Пример 3. Расчет прокатной балки 045

Пример 3. Расчет прокатной балки 045

прокатная балка

Рис. 1

Дано: схема балки с нагрузкой (рис. 1), допускаемые напряжения sigma_adm = 160 МПа, tau_adm = 100 МПа.

Нужно: определить опорные реакции, построить эпюры внутренних усилий, подобрать сечение балки с двутавра и проверить прочность принятого сечения, построить эпюры перемещений, методом Мора и графоаналитическим методом в произвольном сечении балки определить угол поворота и прогиб.

 План выполнения задачи:
1) Определение опорных реакций и построение эпюр внутренних усилий.
2) Подбор поперечного сечения.
3) Полная проверка прочности балки.
4) Определение перемещений методом начальных параметров.
5) Определение перемещений графоаналитическим методом.
6) Определение перемещений методом Мора.

 

1) Определяем опорные реакции и строим эпюры внутренних усилий.

sum{~}{~}{M_A} = 0,~~ -~R_B*9 ~-~ 16 + 10*4 + 4*4*5 = 0,~~ R_B = 11,56 кН;

sum{~}{~}{M_B} = 0,~~ -~R_A*9 ~-~ 16 + 10*13 ~-~ 4*4*4 = 0,~~ R_A = 5,56 кН.

Проверка: sum{~}{~}{F_z} = 0,~~ ~-~ 10 + 5,56 + 4*4 ~-~ 11,56 = 0.

Построение эпюр внутренних усилий (рис. 2):

Построение эпюры Q_z (кН):
Q_1Л~= 0;
Q_1Пр~= 10;
Q_2Л~= 10;
Q_2Пр~= 10 ~-~ 5,56 = 4,44;
Q_3~= 10 ~-~ 5,56 = 4,44;
Q_5~= ~-~ 11,56;
Q_6Л~= ~-~ 11,56;		 Построение эпюры M_y (кН·м):
M_0Пр~= ~-~ 16;
M_1~= ~-~ 16;
M_2~= ~-~16 + 10*4 = 24;
M_3~= 11,56*6 ~-~ 4*4*2 = 37,33;
M_4~= 11,56*4 ~-~ 4*2*1 = 38,22;
M_5~= 11,56*2 = 23,12;
M_6~= 0;
M_ext~= 11,56*4,89 ~-~ 4*2,89*{{2,89}/{2}} = 39,8;

 

Максимальные значения усилий:

Q_max = 11,56 кН (при x = 15 м);

M_max = 39,8 кН·м (при x = 12,11 м).

эпюры внутренних усилий и перемещений при изгибе

Рис. 2

2) Подбор поперечного сечения.

Требуемый момент сопротивления:

Wтр~= {M_max}/{sigma_adm} = {39,8*10^3}/{160*10^6} = 248,75*10^{-6} м 3~= 248,75 см 3.

Из таблицы сортамента (ГОСТ 8239-72) принимаем двутавр №22a, с такими геометрическими характеристиками:

I_y = 2790 см 4;   W_y = 254 см 3;   S_max = 143 см 3.

Размеры сечения:

h = 220 мм;   b = 120 мм;   d = 5,4 мм;   t = 8,9 мм.

3) Выполняем полную проверку прочности балки.

а) По максимальным нормальным напряжением (сечение a~-~a при x = 12,11 м).

sigma_max = {M_max}/{W_y} = {39,8*10^3}/{254*10^{-6}} = 156,7*10^{6} Па~= 156,7 МПа.

Недонапряжение: Delta = {{160 ~-~ 156,7}/160} * 100% = 2,06%.

Для сечения a~-~a строим эпюру нормальных напряжений (рис. 3).

б) По максимальным касательным напряжением (сечение b~-~b при x = 15 м).

tau_max = {Q_max S_max}/{d I_y} = {11,56*10^3 * 143*10^{-6}}/{5,4*10^{-3}*2790*10^{-8}} = 10,97*10^6 Па~= 10,97 МПа.

Недонапряжение: Delta = {{100 ~-~ 10,97}/100} * 100% = 89,03%.

Вычисляем статический момент полки двутавра относительно центральной оси y:

S_n = b t {h ~-~ t}/2 = 120 * 8,9 * {{220 ~-~ 8,9}/2} * 10^{-3} = 112,73 см 3,

касательное напряжение в точке стыка полки и стенки:

tau_n = {Q_max S_n}/{d I_y} = {11,56*10^3 * 112,73*10^{-6}}/{5,4*10^{-3}*2790*10^{-8}} = 8,65*10^6 Па~= 8,65 МПа.

Строим эпюру касательных напряжений в сечении b~-~b (рис. 3).

в) Главные напряжения проверяем в (сечение c~-~c при x = 13 м).

Усилия в сечении: M = 38,22 кН·м,  Q = 3,56 кН.

Определяем нормальное и касательное напряжение в точке стыка полки и стенки двутавра:

sigma_1 = {{M}/{I_y}} (h/2 ~-~ t) = {{38,22*10^3}/{2790*10^{-8}}}*(220/2 ~-~ 8,9) * 10^{-3} = 138,5*10^6 Па~= 138,5 МПа;

tau_1 = {Q S_n}/{d I_y} = {3,56*10^3 * 112,73*10^{-6}}/{5,4*10^{-3}*2790*10^{-8}} = 2,66*10^6 Па~= 2,66 МПа.

За четвертой теорией прочности:

sigma_red = sqrt{{sigma_1}^2 + 3 {tau_1}^2} = sqrt{{138,5}^2 + 3 * {2,66}^2} = 138,58 МПа.

Недонапряжение: Delta = {{160 ~-~ 138,58}/160} * 100% = 13,39%.

Определяем касательное напряжение на нейтральной оси:

tau_0 = {Q S_max}/{d I_y} = {3,56*10^3 * 143*10^{-6}}/{5,4*10^{-3}*2790*10^{-8}} = 3,37*10^6 Па~= 3,37 МПа.

и строим эпюры sigma и tau в сечении c~-~c (рис. 3).

эпюры нормальных и касательных напряжений при изгибе

Рис. 3

Понравилась статья! Поддержи проект! Ставь ЛАЙК!